一次家庭作业意外搞定40年前的数学猜想 只研究了几个礼拜-世界杯2022怎么买球

一次家庭作业意外搞定40年前的数学猜想 只研究了几个礼拜
  • 晓查 萧箫
  • 2022年03月13日 13:44

只是完成一次普通家庭作业,就把困扰了数学家们几十年的猜想搞出了新花样?!

没错,这是来自牛津大学的thomas bloom的亲身经历。

在一次阅读小组的论文分享上,他被要求解读一篇2003年发表在《数学年刊》上的经典论文。

这篇论文证明了一个与“最古老数学问题”埃及分数有关的猜想。

简单来说,猜想认为:将大于1的整数任意分成有限个子集,必然有一个子集中的部分整数倒数加起来为1,例如只要有一个子集中有2、3、6,就有1 = 1/2 1/3 1/6。

这一猜想被命名为erd?s-graham猜想。

然而,这版2003年的证明还有很多待解决的疑惑:

thomas bloom在解读论文的过程中,也发现这版证明对子集的要求有点高,很多特殊情况下没办法成立。

再仔细一看,他突然发现,这版证明还存在着可以继续改善的地方!

于是借着这次交作业的机会,thomas bloom在这篇论文的基础上提出了一种“强化版”证明思路,整个过程甚至只用了几周时间。

就连数论领域著名学者、蒙特利尔大学教授andrew granvill都感叹这种做法的不可思议:此前我只是觉得,这是一个不可能被解决的问题,任何头脑正常的人都没法做到。

所以,这一猜想究竟是什么,bloom的证明方法又究竟“不可思议”在哪里?

一个与“最古老数学问题”有关的猜想

在数学里,任意有理数都可以表示成分数,且分子分母都是整数。

但是在3000多年前的古埃及,他们的分数只有分子为1一种情况,我们现在叫它单位分数。

也就是说,他们的字典里没有“3/4”这类东西,因为3/4也需要被写成1/4 1/2。

古埃及的文字里,一只眼睛下面放一个数字就代表了一个单位分数。

从1到100万都有相应的图形。

虽然它和我们现在的数学相去甚远,但其实所有分数都可以写成单位分数之和的形式。

因此这种表示方法被称作古埃及分数。

显然,1也可以写成古埃及分数:1 = 1/2 1/3 1/6。

这个看似简单的问题经久不衰,1970年代,著名数学家paul erd?s和ronald graham提出了一个关于古埃及分数的猜想:把正整数划分成若干个子集,那么必然有一个子集中存在一组数,可以把1表示成古埃及分数形式。

△从左至右依次为paul erd?s和ronald graham夫妇

(注:ronald graham中文名“葛立恒”,就是提出葛立恒数的那位数学家。)

比如上面的1 = 1/2 1/3 1/6,某个子集中包含这2、3、6这三个数,就可以做到。

那么如果很不巧,2、3、6被分配到不同的子集中,还可以把1拆成古埃及分数形式吗?

其实也是可以的,包含{2、3、12、18、36}一组整数也行:

表示1的方法千千万,总有符合条件一组数满足条件。

达特茅斯学院的数论学者carl pomerance对此评价道:“这可能是有史以来最古老的问题。”

没想到的是,这个最古老的问题最近又发出新芽。

来自牛津大学的数学家thomas bloom最近不但提出了比erd?s更厉害的“强化版”,还亲自证明了它。

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几周就证明了一个“加强版”

那篇近20年前的论文,由一位名叫ernie croot的数学家撰写,2003年发表在数学领域顶级期刊《数学年刊》上。

他解决erd?s-graham问题的“基础版本”。

把所有整数随机分配到不同的桶里,至少有一个桶必须包含一组整数,其倒数和等于1。

bloom仔细阅读后发现,croot的方法实际上比最初看起来更强大:“所以我研究了几周,这个更强大的结果就出来了。”

bloom给出的结论是,并不需要把整数分成若干个有限集合,只要集合满足“正密度”的条件,那么这个集合就存在一组整数倒数和为1。

所谓“正密度”是指某一组整数在全体正整数里所占的比例,比如偶数的密度是0.5。

假如有一组整数集合记作a,在前n项中不大于n的项记作α,当n趋于无穷大时,α/n极限就是叫做a的自然密度。

而bloom提出而条件是密度大于零即可,无论这个密度多低(10%、1%、0.0001%甚至更低),这显然比把整数分成有限份的条件更加苛刻。

嗯,充分说明哪怕是“读论文”这种科研作业,也要认真一点,说不定读着读着灵感就来了(手动狗头)

作者介绍

thomas bloom,目前在牛津大学进行数学方面的研究工作,获得过英国皇家学会大学研究金,后者专门用于给各领域杰出年轻科学家提供科研资金。

bloom曾于布里斯托大学获得博士学位,并在剑桥大学进行过博士后相关工作,本科毕业于牛津大学数学与哲学专业。

在进行这项研究之前,他也曾经和获得过“数论界最高奖”柯尔奖的牛津大学教授james maynard合作,完成过一篇关于无方差集的论文。

one more thing

对于任意有理数,我们都可以用简单的算法找到古埃及分数表示。

最常用的便是贪心算法。

以7/15为例,我们先找到最接近它的单位分数1/3,得到:

7/15 = 1/3 2/15

接着寻找最接近剩余项2/15的单位分数,即1/8。依次类推,直到剩余项也是单位分数为止。

7/15 = 1/3 1/8 1/120

怎么寻找最接近的单位分数呢?将分母除以分子并向上取整即可。

以下是python版的代码:

你能写出其他语言的版本,或是写出其他古埃及分数算法的代码吗?

参考链接:

[1]https://www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/

[2]https://twitter.com/thomasfbloom

[3]https://www.youtube.com/watch?v=ybtluqoghxa

[4]https://www.geeksforgeeks.org/greedy-algorithm-egyptian-fraction/

[5]https://en.wikipedia.org/wiki/erdős–graham_problem

[6]http://thomasbloom.org/aboutme.html

[7]https://annals.math.princeton.edu/2003/157-2/p04


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